Il 'Mal di stomaco', un rompicapo di Archimede antico di 2000 anni (per grandi e piccini)

G. Luca Chiovelli

Presso i Musei Capitolini (31.05.2013 - 12.01.2014) è ancora possibile gustare la mostra Archimede, arte e scienza dell'invenzione, dedicata alla geniale figura del greco di Siracusa, matematico, fisico, ingegnere, esperto militare e maestro, fra gli altri, di Leonardo e Galileo.

Nel post prendiamo in esame una piccolissima parte della sua opera, a metà fra scienza e gioco: lo stomachion è, infatti, allo stesso tempo, uno studio sul calcolo combinatorio e un gioco per bambini conosciuto da tutta l'antichità.

Nel 1204 Costantinopoli fu conquistata e depredata per la prima volta nella sua storia quasi millenaria: da quando, cioè, Costantino il Grande la fondò, nel 330 d. C.

I barbari vennero da Occidente: erano  le truppe della quarta crociata, istigata dal trentaseienne Papa Innocenzo III (Lotario dei conti di Segni, l’autore del De contemptu mundi, La miseria della condizione umana) con la complicità di Venezia. La spedizione, che non arrivò mai in Terrasanta, si limitò a saccheggiare la capitale dell’Impero che, dopo otto secoli, tramandava e custodiva le conoscenze del mondo classico.

La presa di Costantinopoli si risolse in una spoliazione indiscriminata. I crociati profanarono persino la basilica di Santa Sofia; tesori dell’età romana ed ellenistica andarono perduti per sempre; le biblioteche furono disperse: centinaia di migliaia di volumi, eredità di millenni di scienza e letteratura, svanirono in pochi giorni.

Fra le perdite irreparabili figurano anche i codici di Archimede, uno dei maggiori pensatori di sempre; colui che trovò il valore approssimato del pi greco, formulò i primi rudimenti del calcolo infinitesimale, fu ingegnere (la vite archimedea), fisico (Datemi una leva!), astronomo, studioso di geometria.

A Costantinopoli solo tre libri del siracusano sopravvissero. Due ebbero la sventura di scomparire in Italia, qualche secolo più tardi: il codice A nel 1564, il codice B nel 1311, presso la Biblioteca Pontificia di Viterbo. Il codice C, riscoperto nel 1906, riapparve fisicamente, muffo e malmesso, in un'asta di Christie's, il 29 ottobre 1998. Le pagine del pensatore erano celate in un manoscritto di preghiere medioevali. Il pezzo venne aggiudicato per due milioni di dollari a un facoltoso uomo d’affari che lo donò al Museo D’arte di Baltimora.

Il codice C, redatto proprio a Costantinopoli nel X secolo, contiene sette opere di Archimede; fra esse le poche pagine dello Stomachion di cui, fino allora, si aveva solo un frammento contenuto in un compendio arabo.

La parola stomachion vien fatta derivare da ‘stomachos’, e viene tradotta, più o meno liberamente come ‘irritazione', o ‘mal di stomaco’, o, addirittura, come ‘gioco che fa impazzire’.

Dello stomachion (non il libro, ma l’oggetto) se ne può parlare in due modi: in modo serio, del tutto aderente, forse, alla trattazione di Archimede; in modo giocoso, ovvero secondo l’idea che l’antichità (in special modo i latini che lo appellavano ‘loculus Archimedius’, scatola di Archimede), si era fatta, qualche secolo più tardi, dello stomachion vero e proprio.

Cominciamo dal modo giocoso.

Lo stomachion consiste in un quadrato suddiviso in quattordici figure geometriche: dodici triangoli, un quadrilatero e un pentagono. Due dei dodici triangoli vantano i propri gemelli.

Le aree dei vari pezzi hanno rapporti diversi con l’area complessiva del quadrato: 5 hanno un'area pari ad 1/12 del quadrato, 4 pezzi a 1/24; 2 pezzi a un 1/48; gli ultimi tre rispettivamente a un 1/16, un 1/6 (il quadrilatero) e 7/48 (il pentagono)

Nell'antichità si giocava a stomachion con quattordici pezzi costituiti da frammenti d'osso; per questo alcuni parlano di ostomachion, ovvero battaglia di ossi.

Con tali tessere si cercava di ricreare forme diverse: animali d’ogni sorta, torri, soldati, oggetti quotidiani.

Era un gioco per bambini. Ecco il grammatico Cesio Basso: “[lo Stomachion] giovava moltissimo a rafforzare la nostra memoria, quando eravamo fanciulli”.

La forma più celebre, fra tutte quelle possibili, è quella dell’elefante, dovuta al poeta Decimo Magno Ausonio. Ecco come egli descrive il gioco: “Sono quattordici ossicini in tutto, tagliati in forme geometriche. Alcuni sono triangoli equilateri, altri simmetrici, alcuni con angoli retti, altri obliqui: si chiamano isosceli, isoplori, anche ortogonali e scaleni. I diversi raggruppamenti di questi pezzi rappresentano mille cose: un grande elefante, un cinghiale feroce, un'oca in volo, un mirmillone armato, un cacciatore appostato, un cane che abbaia, e ancora una torre, un cantaro e una gran quantità d'altre immagini di questo genere, che variano secondo l'abilità del giocatore".

Menzioni del gioco si trovano, inoltre, presso Elio Festo Aftonio, Magno Felice Ennodio, Lucrezio.

Il numero di figure possibili da creare utilizzando tutti o parte dei pezzi, liberamente disposti, non é calcolabile. Le combinazioni, aperte alla creatività sfrenata, sono illimitate.

Le menti dei bambini, ancora fluide e non sottomesse alla rigidezze dell’utilitarismo e della specializzazione, sono in grado di escogitare meraviglie; sono sicuro che le quattordici tessere originerebbero deliziose Olimpiadi del ‘Mal di stomaco’: le battaglie (all’osso) coinvolgerebbero le più variopinte e rumorose scolaresche.

C’è, però, anche il versante scientifico dello stomachion, il più rigoroso, il più prettamente archimedeo.

Cominciamo col dire che nel codice C non compare il disegno dello stomachion. Esso è ricostruito, per via dotta, in base al testo arabo predetto, contenuto in un manoscritto del XVII secolo ove si compendia lo "Stumashiun di Archimede"(1).

Reviel Netz, uno dei curatori de Il codice perduto di Archimede, presume che sotto ciò che in seguito diverrà un rompicapo per scolari latini, ci sia dell’altro. Egli suppone che lo stomachion sia nientemeno che il tentativo di calcolare il numero dei diversi modi in cui possono assemblarsi i quattordici pezzi per (ri)ottenere il quadrato di partenza.

Lo scritto sullo stomachion, in tal caso, sarebbe il primo studio documentato di calcolo combinatorio.

La soluzione del problema venne data da uno scienziato informatico dell'Illinois, Bill Cutler.

Cutler calcolò che le quattordici tessere possono riassemblarsi (senza ripetizioni) in 17152 combinazioni diverse in modo da (ri)formare il quadrato di partenza.

Cutler arrivò alla conclusione inoppugnabile tramite l'applicazione di un algoritmo informatico. Non sappiamo se Archimede, senza computer e con stilo e canna, fu in grado di dare la soluzione. Il manoscritto è incompleto. La sfida era, però, nelle sue corde, titanica e, allo stesso tempo, venata da un tono tra beffardo e giocoso, tipico delle grandi menti (Leonardo in primis).

Nell'opera Arenario, ad esempio, Archimede aspirò a calcolare il numero di granelli di sabbia necessari a riempire l'universo. La sua soluzione fu:

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Ovvero uno seguito da 63 zeri. Una pinzellacchera. Il siracusano ideò infatti un sistema di numerazione per cui arrivò a pensare (e a nominare) un’entità ben più vertiginosa: 1 seguito da ottantamila milioni di milioni di cifre. Fino ad allora il numero greco più grande che avesse nome era 10000, ovvero 1 seguito da quattro zeri (diecimila era myriad, da cui il nostro miriade). Solo per darvi l’idea della portata intellettuale del pensiero archimedeo.

Questo record (ricordiamolo: il più grande numero mai pensato, 1 seguito da 80000 milioni di milioni di cifre o zeri) verrà battuto solo nel 1933.

Un altro esempio, di sfida e, insieme, di perfidia, è quello, celeberrimo, del problema dei buoi. Archimede lancia il guanto (in versi) contro i matematici alessandrini, in special modo contro Eratostene di Cirene, direttore della Biblioteca. Riassumo scherzosamente il succo del testo:

“Cari miei, voi che siete pozzi di scienza, sapreste forse calcolare il numero dei buoi delle mandrie del Sole, che pascolano in Sicilia? Sono quattro mandrie, di diversi colori (nero, bianco, bruno dorato, screziato): i tori bianchi sono eguali alla metà ed alla terza parte di tutti i neri e ai bruni; i neri poi eguali alla quarta parte ed alla quinta degli screziati e a tutti i bruni; i restanti screziati considerateli poi come eguali alla sesta ed alla settima parte dei tori bianchi e di nuovo a tutti i bruni mentre le giovenche bianche sono eguali alla terza e quarta parte di tutto il gregge nero; le nere alla quarta parte insieme alla quinta delle screziate prese assieme ai tori; le screziate erano precisamente eguali alla quinta parte ed alla sesta di tutti gli animali del gregge bruno; le brune poi vennero valutate eguali alla metà della terza parte ed alla settima parte del gregge bianco. Avete capito? Facile, no? Risolvete questo enigma, amici miei (sono sicuro che ci riuscirete perché siete uomini intelligentissimi), e potrete davvero fregiarvi del titolo di sapienti. In bocca al lupo”.

2200 anni di tentativi hanno regalato esiti comici nella loro contraddittorietà.

Qualcuno, tirando in ballo otto equazioni lineari con due condizioni quadratiche è arrivato alla soluzione: che consiste in un numero con 206.545 cifre; altri, il maestro elementare in pensione Calogero Savarino, l’ha, invece, vergata in una semplice paginetta: 2328.

Eratostene e gli alessandrini, invece, tacciono. Archimede, intanto, assiso nell'empireo dei matematici burloni (ce ne sono parecchi), se la sghignazza alla grande.

La sapienza è una sfida mortale. Ma il riso uccide più della spada.

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(1) È bello leggere la storia perchè si capisce la storia solo leggendola. Abbiamo qui uno dei geni fondatori dell'Occidente, sui cui testi si formarono Leonardo da Vinci e Galileo; un pensatore che anticipò Newton e Leibniz. E chi distrusse i codici archimedei? Degli occidentali, ovviamente, la soldataglia bestiale che andava a liberare il Santo Sepolcro. E chi invece permise la trasmissione del sapere occidentale agli occidentali? Gli arabi, che tradussero, compendiarono e integrarono ciò che i Greci avevano pensato più di un millennio prima. Uno dei centri di traduzione e trasmissione più famosi era Baghdad; furono celebri anche quelli moreschi, degli Arabi di Spagna. Dante e Guido Cavalcanti forse studiarono su testi latini ritradotti da testi arabi che avevano, a loro volta, tradotto i testi scientifici e letterari greci, salvandoli dall’oblio perenne. Quanto deve il Rinascimento ai Mori?

Baghdad, parte del mondo arabo e la Grecia e la Spagna oggi appartengono all'asse del male, ideologico o economico. Au contraire, la rettitudine appartiene ad altri. A coloro, cioè, che, dal 2003 in poi, in perfetta consonanza coi crociati del 1204, saccheggiarono o permisero il saccheggio e la dispersione delle biblioteche irachene dove, per quel che ne sappiamo, potevano nascondersi, tra le pieghe di migliaia di manoscritti, altri codici, altre centinaia di Stomachion.

Che dire? Il cuore dell’uomo è meschino, i suoi impulsi pochi ed elementari e, necessariamente, con tali rare combinazioni (inferiori a 17152), la storia si ripete.

PS. A volte tendo a credere che l'Italia meriti la dissoluzione sociale e culturale. Uno dei rarissimi testi in italiano sullo Stomachion (sono due) è il libro, già ricordato, di Reciel Netz e William Noel, Il codice perduto di Archimede. Allo Stomachion essi dedicano trentotto pagine, su quattrocentoventisei. Ecco cosa si combina in appena sette di quelle trentotto (7/38 = 18,4%; 7/426 = 1,5% del totale):

A pagina 344 si legge: "scegliere A e C equivale a escludere C". Davvero? E la B?

A pagina 349 si scambia, per ben due volte, il matematico Ipparco col medico Ippocrate.

A pagina 351 altro svarione. Si legge: "Ipparco era vissuto nel II secolo a. C., il che significava che poteva essere nato cinquant'anni o più prima di Archimede ... Ciò avrebbe fatto di lui [Archimede] la prima persona ad aver mai eseguito uno studio in quel campo ... Archimede sarebbe stato l'iniziatore di una tradizione che sarebbe poi culminata nell'opera di Ipparco ..."

Davvero? Non sarà invece che Ipparco (190 a. C.- 120 a. C.) sia nato cinquant'anni o più dopo Archimede (287 a. C - 212 a.C.)? E proprio per questo ne sia il continuatore? Non sarà che qualcuno ha confuso after con before? O, peggio, a.C. con d.C.(in questo caso Ipparco nasce prima di Archimede)?

Non voglio dare colpe, ma un’edizione Rizzoli può concentrare in poche pagine tanti errori?

A meno che il tutto non sia una burla archimedea. Un testo sullo stomachion, irritazione o mal di stomaco, non poteva che suscitare irritazione e mal di stomaco.

Consigli di lettura

Pier Giorgio Odifreddi, Tre re matemagici per un'epifania

Reviel Netz - William Noel, Il codice perduto di Archimede, Rizzoli, 2008
Niceta Coniata, Grandezza e catastrofe di Bisanzio, Milano, Mondadori, 1994.

Ricombinazioni geometriche delle tessere